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La méthode des éléments finis est un outil fondamental des mathématiques appliquées. Elle mobilise des connaissances en analyse numérique, en algèbre linéaire et en calcul scientifique, disciplines enseignées dès les deux premières années universitaires. Utilisée pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles, cette méthode consiste, en mathématiques, à remplacer un problème complexe, sans solution connue, par un problème approché, beaucoup plus simple, que l'on sait résoudre. Elle s'inscrit dans la famille des méthodes de Galerkin, dont elle constitue un cas particulier. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants de master en mathématiques, mécanique ou mathématiques appliquées, aux élèves des écoles d'ingénieurs, ainsi qu'aux chercheurs et enseignants-chercheurs souhaitant s'initier à la théorie des éléments finis et en maîtriser les fondements. Il propose un cours complet accompagné d'une série d'exercices corrigés en détail, tels qu'enseignés pendant plusieurs années en licence et en master de mathématiques pures et appliquées, ainsi que dans les grandes écoles. L'ensemble est structuré en deux volets : les éléments finis continus et les éléments finis discontinus. L'ouvrage aborde également l'approximation des systèmes du premier ordre symétriques positifs au sens de Friedrichs, et se conclut par une approximation de l'équation de transport en géométrie bidimensionnelle.