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Ce manuel propose une introduction rigoureuse aux outils de l'analyse vectorielle et de la géométrie différentielle, en les plaçant au service de l'étude des équations aux dérivées partielles, avec un accent particulier sur les grandes équations de la physique mathématique : équations des ondes, de la chaleur, de Laplace, etc. Il offre également un exposé complet du calcul différentiel et intégral pour les fonctions de plusieurs variables, fondamental pour aborder ces problématiques. Un chapitre est consacré à la résolution numérique des équations aux dérivées partielles, à l'aide du langage Python. Il constitue une ouverture vers l'implémentation concrète des méthodes et intéressera particulièrement les étudiants en mathématiques appliquées et les élèves ingénieurs.