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Les épistémologues qui étudient l'évolution de la pensée mathématique notent que deux mouvements ont surgi. Le premier correspond à une volonté de résoudre l'opposition entre l'arithmétique et la géométrie et entre la géométrie et l'algèbre. Le second veut reconstruire l'ensemble des mathématiques à partir des correspondances de Langlands qui s'attaquent à l'opposition entre l'algèbre et l'analyse et veulent offrir un dictionnaire unique à la physique de l'avenir. Dans la lignée du premier mouvement, ce fascicule présente cinq thèmes de recherche exposés par l'auteur dans les années qui précèdent aux collègues animateurs du groupe Mathématique-Physique-Supérieur de L'IRES de Toulouse. Ces cinq thèmes sont inspirés de sujets proposés aux candidats à l'épreuve des TIPE de grands concours scientifiques nationaux. Chaque thème comprend le corps du sujet avec des annexes et des compléments où sont données les notions nécessaires à la compréhension du texte et des exercices portant sur le thème choisi avec les réponses proposées. Chaque thème est rédigé a priori de façon autosuffisante, bien que certains thèmes soient liés.